Questo è un testo di ricerca. Non divulgativo, non narrativo, per molti non sarà neppure di facile intelligenza, perché offre pochi agganci a dottrine acquisite. Lo scrivente è un ricercatore, non un maestro né un accademico. Non possiede fonti di insegnamento da dispensare ad allievi; adotta il riferimento epistemico alla matematica, tentando di privilegiare forme di sapere sin dall’origine diffuse e collettive, senza modalità privilegiate di accesso, che nessun singolo abbia diritto di monopolizzare. Un esempio paradigmatico: il teorema di Pitagora non fu proprietà privata di un caposcuola ma capitale comune ad Assiri, Babilonesi ed Egizi, che l’applicavano all’agrimensura; i Greci lo sistemarono nella 47-esima proposizione del primo libro degli Elementi del professor Euclide, che lo dimostrò rigorosamente (anche un po’ macchinosamente).

Fino agli anni Ottanta del secolo scorso in Francia fiorì per 50 anni il collettivo bourbakista di matematica, e tuttora esistono scuole di filosofia e di psicanalisi. La differenza? Il primo espresse dei geni (Weil, Cartan, Serres, Grothendieck), le seconde dei maestri (Deleuze, Foucault, Sartre, Lacan), ormai solo ripetitori. Con una seconda evidente differenza: l’handicap scolastico, cioè l’incombere sulle scuole di eresie, che i collettivi scientifici non conoscono. (Al loro avvento due secoli fa le geometrie non euclidee si configurarono provvisoriamente come eresie giusto per la sclerotizzazione metafisica, favorita da Kant, della geometria classica.)

Faccio presente una verità banale, ma trascurata sul web. Affinché ci sia divulgazione, che giustamente l’editor di questa rivista on line esige alta, occorre che prima si faccia ricerca. La divulgazione senza ricerca e innovazione produce facilmente fake news, come quelle oggi circolanti sui vaccini causa di autismo (ammesso che si possa definire l’autismo). Allora mi faccio sotto, a rischio di far terra bruciata intorno a me. Avverto che, essendo di formazione scientifica, non cerco riscontri empirici, che lascio agli scolastici (e ai paranoici), ma solo confutazioni. Alle dottrine, che al loro interno non ammettono smentite, lascio volentieri l’attitudine a farsi guerra tra loro.
In prima istanza tento di impostare un modello algebrico (sic) dell’insieme dei significanti, che denoto con la lettera A, forse in memoria del Grande Altro di Lacan. In seconda istanza affronto il discorso delle applicazioni lineari che trasformano in sé stesso Aⁿ, il cosiddetto prodotto cartesiano di n copie di A (risic). Considero cioè le applicazioni (o funzioni) che portano l’insieme Aⁿ delle sequenze finite di significanti di A ancora in Aⁿ, associando a ogni elemento di Aⁿ un ben determinato elemento di Aⁿ. L’intento è “vedere dentro” (“intuire”) Aⁿ, dato che le applicazioni lineari di Aⁿ su Aⁿ non fanno uscire da Aⁿ. Alla fine si potrà costatare quanta attinenza l’approccio algebrico, che prescinde da presupposti scolastici, può avere con la clinica psicanalitica del transfert e del controtransfert.

Una distinzione preliminare. Dal punto di vista sintattico un significante è una sequenza finita di lettere di un alfabeto finito. Questo non dice molto.

Dal punto di vista semantico, in particolare freudiano, un significante è un operatore di condensazione e spostamento di altri significanti. Sommato a un altro significante, per esempio per semplice accostamento di due significanti in una catena, il significante somma sovrappone due stati soggettivi, come nell’ambivalenza l’amore si sovrappone all’odio. Moltiplicato per un altro significante, il prodotto realizza uno spostamento, in conformità al dogma lacaniano che “il significante rappresenta il soggetto per un altro significante”, cioè sposta il soggetto dal primo al secondo significante. Applicato a un punto dello spazio, un significante vettoriale, realizza una traslazione, cioè un moto parallelo a se stesso. Per esempio, moltiplicare a sinistra un significante S per il significante –1, ottenendo –1S = –S, significa che –1 sposta S da dove si trova; per esempio, se si trova nel soggetto passa nell’oggetto; se si trova nell’oggetto passa nel soggetto. Invece moltiplicare a sinistra un significante S per 1, ottenendo S, significa lasciare S dov’è. Moltiplicare un significante per 0 significa trasformarlo in significante fallico o nullo che non appartiene né al soggetto né all’oggetto, cioè non ha alcun significato. Si intravvede come l’algebra vettoriale delle traslazioni e delle rotazioni potrebbe riguardare il transfert e il controtransfert degli affetti?

Di seguito intendo costruire un modello algebrico dell’insieme delle catene finite di significanti. A tale scopo, come annunciato, considero l’insieme prodotto cartesiano Aⁿ, i cui elementi sono le sequenze finite di significanti di A, denotate da liste di coordinate (a₁, a₂, …, a_n), i vettori di Aⁿ di dimensione n. In particolare, mi propongo di introdurre in Aⁿ una struttura di modulo libero, una struttura vicina a quella di spazio vettoriale, ben noto in meccanica. (Sorvolo sulla mia propensione al meccanicismo).
La costruzione procede in due fasi. La prima introduce in A la struttura algebrica di anello; la seconda introduce in Aⁿ la struttura di modulo libero, dove gli elementi di A operano da moltiplicatori (a sinistra o a destra) dei vettori di Aⁿ.

L’opzione decisiva è che A sia l’insieme dei numeri complessi.
Perché proprio loro? Ci sono buone ragioni teoriche. Ne segnalo due: la divisione significante e l’incompletezza descrittiva (o rappresentativa) dei significanti, caratteristiche ricorrenti nelle scienze post-galileiane. Non fanno parte delle ragioni teoriche l’omofonia con i complessi psicologici della scuola di Zurigo e neppure la possibilità di risolvere nel campo complesso qualunque equazione polinomiale.

I numeri complessi sono significanti originariamente bipartiti in due componenti che si sommano in senso astratto, cioè si giustappongono ma non si confondono: una è la componente reale, il cui quadrato è un numero positivo, l’altra è la componente immaginaria, il cui quadrato è un numero negativo. Una frattura irriducibile. Lo zero ha un quadrato uguale a sé stesso; esso è un numero unito e unico. Il significante complesso associa nel registro simbolico i due registri lacaniani della soggettività: reale e immaginario. L’algebra complessa offre maggiori garanzie di rigore della pseudotopologia lacaniana dei nodi borromei. (“Pseudo” perché Lacan non ne diede la scrittura algebrica, ma solo qualche futile disegnino alla lavagna, magari esibendo qualche magra collanina di funicelle.)

Caratteristica della teoria dei numeri complessi è di non essere né empirica né cognitivista. Non rientra nella dichiarazione d’esordio della Critica della ragion pura: “Non c’è dubbio che ogni nostra conoscenza comincia con l’esperienza”. I numeri complessi veicolano una forma di conoscenza, di cui si può far esperienza ma non è del tutto empiricamente oggettivabile; per dirla ancora con Kant, sarebbe una conoscenza intuitiva. Infatti i punti a coordinate complesse non rientrano nello spazio visivo della geometria descrittiva. Non si disegnano sul foglio dove si tracciano le figure geometriche, che pure determinano. Non si vedono, non si percepiscono, ma si intuiscono. Sono forse metafisici? No, i significanti non rappresentano sé stessi, insegnava Lacan. Ciò non toglie che siano “dappertutto”. Infatti ricoprono densamente lo spazio reale, pur non appartenendogli. Si dimostra che ogni retta complessa ha almeno un punto reale, che è l’intersezione, sempre esistente, con la retta complessa coniugata. (Viceversa, ogni punto reale può essere pensato come intersezione di due rette complesse.)

Il punto paradossale è che, benché i punti complessi non si possano “vedere” o “disegnare”, si possono scrivere, per esempio con la scrittura algebrica a + ib (a reale, ib immaginario), all’interno di uno schematismo molto astratto e poco empirico, in conformità al principio che la matematica è un esercizio di scrittura prima che di pensiero. È lo schematismo della meccanica quantistica, che tratta le particelle come onde complesse (irrappresentabili) da cui calcola la probabilità di trovare la particella in una regione dello spazio. La meccanica quantistica del XX secolo continua la tradizione della Meccanica analitica di Lagrange del 1788: 530 pagine di formule senza una figura, l’esatto contrario degli Elementi di Euclide, 459 pagine con la media di una figura per pagina ma senza una formula. Nei 10 capitoli di topologia del Bourbaki (1974) conto solo 5 figure. Continuo allora con l’algebra senza figure, convinto come sono che la scrittura matematica rappresenti l’uscita definitiva dall’analfabetismo prescientifico.
Algebricamente l’insieme A dei numeri complessi è un anello: un insieme dotato di due operazioni (astratte), la somma e il prodotto, che soddisfano due assiomi (o precondizioni). Essi sono:

1. somme e differenze di numeri complessi formano un gruppo commutativo rispetto all’addizione, cioè somme e differenze di numeri complessi sono ancora numeri complessi, che non dipendono dall’ordine dei sommandi, e hanno lo zero come elemento unitario rispetto a somma e differenza; sommare o sottrarre zero non cambia le cose;

2. moltiplicare a destra o a sinistra una somma o una differenza di numeri complessi per un numero complesso dà ancora un numero complesso; la moltiplicazione scalare gode della proprietà distributiva rispetto alla somma o alla differenza, cioè il prodotto scalare di una somma o di una differenza è la somma o la differenza dei prodotti.

(L’insieme A è anche un campo, dove ogni numero complesso diverso da zero ha un inverso che, moltiplicato per il numero, restituisce l’unità moltiplicativa. Qui non considero tale proprietà che porta a considerazioni metriche e quantitative. Preferisco mantenermi a livello qualitativo.)

Strutturato come anello, A è un insieme di scalari, cioè di coefficienti moltiplicatori a destra o a sinistra di vettori di Aⁿ, che ora si struttura come modulo libero.
Il modulo libero Aⁿ è caratterizzato da due assiomi, ancora su somma e prodotto.

Il primo riguarda la somma dei vettori, data dalla somma componente per componente dei vettori sommandi.

Il secondo riguarda il prodotto scalare, dato dal prodotto (a destra o a sinistra) di uno scalare di A per ogni componente del vettore moltiplicando.

Ovviamente A è un modulo su sé stesso; si potrebbe scrivere A¹. Il primo assioma vuole presentare la condensazione di due stati soggettivi in un unico stato, dato dal vettore somma. Il secondo assioma modifica lo stato soggettivo, ampliandone o riducendone la portata, ma conservandone la “direzione”; in senso psicanalitico si tratta di un transfert nel senso che la “freccia” vettoriale si allontana o si avvicina all’oggetto verso cui è diretto.

Dato questo assetto, gli elementi di un modulo libero Aⁿ sono combinazioni lineari di n elementi di base; sono cioè somme di prodotti dello scalare per le componenti dei vettori che formano la base del modulo. Il numero n dei vettori di base è la dimensione o rango del modulo.
Ma l’interessante deve ancora venire ed è dell’ordine di un’ulteriore astrazione (“astrazione” non è una parolaccia, ma il primo passo per uscire dal conformismo).

Dati due moduli liberi (eventualmente coincidenti) si possono definire applicazioni lineari tra di essi, le quali conservano le combinazioni lineari, cioè fanno passare da “somme pesate” dei vettori del primo a “somme pesate” dei vettori del secondo. L’applicazione lineare trasforma la base di un modulo nella base dell’altro modulo. Il punto interessante è che a loro volta gli insiemi di applicazioni lineari formano moduli liberi, che sono moduli duali dei moduli su cui si applicano. Questo è un principio generale delle costruzioni matematiche: una struttura in un insieme è individuata, in un certo senso dall’esterno, scrivendo la coppia ordinata dell’insieme, che sostiene la struttura, e dell’insieme delle applicazioni dell’insieme su sé stesso, i cosiddetti morfismi, per esempio così (Aⁿ, Aⁿ -> Aⁿ).

Questa possibilità di autoriferimento si può sfruttare per la teoria del transfert e la pratica del controtransfert. Se un transfert è un modulo libero, il controtransfert può essere visto come modulo delle applicazioni lineari del modulo transferale su sé stesso. Si conserva così una certa simmetria, ma non una reciprocità speculare, tra transfert e controtransfert, che può essere sfruttata in clinica, in quanto egualmente strutturati.

Considerare l’insieme di tutte le trasformazioni possibili del transfert è certamente un modo “freddo” (kühl) di trattare il transfert, come proponeva Freud nella riunione della Società psicanalitica di Vienna, dove per la prima volta riconobbe pubblicamente l’esistenza del controtransfert (9 marzo 1910). L’analista “freddo” tratta il transfert attraverso il controtransfert, ponendosi come oggetto del desiderio dell’analizzante, che lo “avvolge” in tutti i modi transferali possibili con catene significanti che lo “rivestono” come con una rete. L’analisi termina quando la rete gettata sull’oggetto è abbastanza fitta da rendere riconoscibile “l’oggetto causa del desiderio”, come lo chiama Lacan con terminologia ippocratica.

Quale guadagno per l’analizzante? Lo dico, e concludo, con una metafora che mi esenta dall’addentrarmi nell’algebra dei moduli duali e dei bimoduli. In un certo senso all’analizzante viene restituito il calco vuoto dell’oggetto, generato dall’impronta dei transfert sull’oggetto, che il controtransfert gli “fa vedere”. All’analista resta in mano una teoria “vuota”, buona per accogliere la prossima domanda d’analisi o per essere suggerita al collega a corto di idee o stanco della solita zuppa dottrinaria.

Sono i vantaggi di un modo di procedere astratto, che alla fine si rivela molto rispettoso del concreto, nel senso che non lo ingabbia in precomprensioni metafisiche (metapsicologiche). Per la verità in questo testo non l’ho neppure sfiorato il concreto. Non ho dato neppure esempi di applicazioni di questa algebra ai casi clinici. Ma sorvolo anche sulla mia indifferenza ai singoli casi clinici. L’approccio algebrico dovrebbe bastare a testimoniare il mio interesse di passare da considerazioni locali (magari nell’intorno centrato sul singolo individuo) a generalizzazioni globali, relative al collettivo di appartenenza del singolo individuo, come ho dimostrato in precedenti post, cui rimando. Dopo tutto mi interessa la scientificità della psicoanalisi, non dell’arterapia, della musicoterapia o dell’ippoterapia.